Mathematics chapter 11: Information and Data

এক নজরে

আধুনিক তথ্যপ্রযুক্তি, অর্থনীতি ও বৈজ্ঞানিক গবেষণার মূল ভিত্তিপ্রস্তর হলো সংখ্যাভিত্তিক তথ্যের সংকলন ও বিশ্লেষণ। কোনো বাস্তব ঘটনা বা অনুসন্ধানলব্ধ তথ্যকে সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা এবং সেই সংখ্যাগুলোর গাণিতিক বিশ্লেষণের বিজ্ঞানকে বলা হয় পরিসংখ্যান (Statistics)। পরিসংখ্যানের প্রতিটি সংখ্যাত্মক মানকে বলা হয় উপাত্ত (Data)।

অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের একাদশ অধ্যায় 'তথ্য ও উপাত্ত' মাধ্যমিক পর্যায়ের উচ্চতর পরিসংখ্যানের প্রবেশদ্বার। এই অধ্যায়ে মূলত বর্ণনামূলক পরিসংখ্যানের (Descriptive Statistics) মৌলিক উপাদান—উপাত্তের শ্রেণিবিভাগ, গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুতকরণ, কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (গাণিতিক গড়, মধ্যক ও প্রচুরক) এবং দৃষ্টিগ্রাহ্য লেখচিত্র (আয়তলেখ ও পাইচিত্র) অঙ্কনের কলাকৌশল নিয়ে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

mindmap  root((তথ্য ও উপাত্ত<br>Information & Data))    উপাত্তের প্রকারভেদ      প্রাথমিক উপাত্ত / প্রত্যক্ষ উৎস      মাধ্যমিক উপাত্ত / পরোক্ষ উৎস      অবিন্যস্ত উপাত্ত      বিন্যস্ত উপাত্ত    গণসংখ্যা নিবেশন সারণি      পরিসর: (সর্বোচ্চ - সর্বনিম্ন) + ১      শ্রেণিব্যাপ্তি ও শ্রেণি ব্যবধান      শ্রেণিসংখ্যা: পরিসর / শ্রেণিব্যাপ্তি      ট্যালি চিহ্ন ও গণসংখ্যা      শ্রেণি মধ্যমান      ক্রমযোজিত গণসংখ্যা    কেন্দ্রীয় প্রবণতা      গাণিতিক গড়: প্রত্যক্ষ পদ্ধতি      গাণিতিক গড়: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি      মধ্যক: বিজোড় পদ ও জোড় পদ      মধ্যক: সারণি থেকে নির্ণয়      প্রচুরক: সর্বোচ্চ পুনরাবৃত্ত মান    লেখচিত্র উপস্থাপন      আয়তলেখ Histogram        অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা        ভাঙা চিহ্ন বা ছেদরেখা      পাইচিত্র Pie Chart        বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৩৬০ ডিগ্রি        কোণভিত্তিক বৃত্তকলা

mindmap
  root((তথ্য ও উপাত্ত<br>Information & Data))
    উপাত্তের প্রকারভেদ
      প্রাথমিক উপাত্ত / প্রত্যক্ষ উৎস
      মাধ্যমিক উপাত্ত / পরোক্ষ উৎস
      অবিন্যস্ত উপাত্ত
      বিন্যস্ত উপাত্ত
    গণসংখ্যা নিবেশন সারণি
      পরিসর: (সর্বোচ্চ - সর্বনিম্ন) + ১
      শ্রেণিব্যাপ্তি ও শ্রেণি ব্যবধান
      শ্রেণিসংখ্যা: পরিসর / শ্রেণিব্যাপ্তি
      ট্যালি চিহ্ন ও গণসংখ্যা
      শ্রেণি মধ্যমান
      ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
    কেন্দ্রীয় প্রবণতা
      গাণিতিক গড়: প্রত্যক্ষ পদ্ধতি
      গাণিতিক গড়: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি
      মধ্যক: বিজোড় পদ ও জোড় পদ
      মধ্যক: সারণি থেকে নির্ণয়
      প্রচুরক: সর্বোচ্চ পুনরাবৃত্ত মান
    লেখচিত্র উপস্থাপন
      আয়তলেখ Histogram
        অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা
        ভাঙা চিহ্ন বা ছেদরেখা
      পাইচিত্র Pie Chart
        বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৩৬০ ডিগ্রি
        কোণভিত্তিক বৃত্তকলা

এই অধ্যায়ের মূল বিষয়বস্তু সংক্ষেপ:

1. তথ্য ও উপাত্ত: সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনা হচ্ছে পরিসংখ্যান, আর তথ্য বা ঘটনা নির্দেশক সংখ্যাগুলো হচ্ছে উপাত্ত। উপাত্ত হলো পরিসংখ্যানের কাঁচামাল।
2. উৎস অনুসারে উপাত্তের শ্রেণিবিভাগ:
   • প্রাথমিক উপাত্ত (Primary Data): অনুসন্ধানকারী সরাসরি মূল উৎস থেকে সংগ্রহ করেন। এর নির্ভরযোগ্যতা সর্বাধিক।
   • মাধ্যমিক উপাত্ত (Secondary Data): পরোক্ষ বা তৃতীয় কোনো উৎস (সংবাদপত্র, রেকর্ডপত্র, ইন্টারনেট) থেকে সংগৃহীত উপাত্ত। এর নির্ভরযোগ্যতা তুলনামূলক কম।
3. বিন্যাস অনুসারে উপাত্তের শ্রেণিবিভাগ:
   • অবিন্যস্ত উপাত্ত (Raw/Ungrouped Data): বিশৃঙ্খল বা এলোমেলোভাবে সংগৃহীত উপাত্ত, যা মানের কোনো ক্রমে সাজানো থাকে না।
   • বিন্যস্ত উপাত্ত (Grouped/Arranged Data): উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রম, অধঃক্রম বা শ্রেণিভিত্তিক সাজানো অবস্থা।
4. গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরির ৪টি মূল ধাপ:
   • পরিসর (Range): $\text{পরিসর} = (\text{সর্বোচ্চ মান} - \text{সর্বনিম্ন মান}) + ১$
   • শ্রেণিব্যাপ্তি (Class Interval): উপাত্তের সুবিধাজনক ব্যবধান (সাধারণত ৫ থেকে ১৫-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখা হয়)।
   • শ্রেণিসংখ্যা (Number of Classes): $\text{শ্রেণিসংখ্যা} = \frac{\text{পরিসর}}{\text{শ্রেণিব্যাপ্তি}}$ (দশমিক এলে সর্বদা পরবর্তী পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তর)।
   • ট্যালি ও গণসংখ্যা (Tally & Frequency): প্রতিটি শ্রেণিতে অন্তর্ভুক্ত উপাত্তের সংখ্যা গণনা।
5. কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency): উপাত্তসমূহের কেন্দ্রের বা মাঝামাঝি মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার স্বাভাবিক সাধারণ ধর্ম। এর পরিমাপক তিনটি:
   • গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean): উপাত্তের সমষ্টিকে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ। বিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N}$।
   • মধ্যক (Median): উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে ঠিক মাঝামাঝি যে মান উপাত্তগুলোকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে।
   • প্রচুরক (Mode): উপাত্তে যে সংখ্যাটি সর্বাধিকবার বিদ্যমান থাকে।
6. লেখচিত্র (Graphical Representation):
   • আয়তলেখ (Histogram): ছক কাগজের $x$-অক্ষে শ্রেণিব্যাপ্তি এবং $y$-অক্ষে গণসংখ্যা স্থাপন করে অঙ্কিত সংলগ্ন আয়তক্ষেত্রসমূহ।
   • পাইচিত্র (Pie Chart / বৃত্তলেখ): উপাত্তসমূহকে বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন $৩৬০^\circ$ কোণের আনুপাতিক অংশে রূপান্তর করে অঙ্কিত বৃত্তাকার লেখচিত্র।

শিখনফল

পাঠ্যবইয়ের প্রারম্ভিক নির্দেশনা (পৃষ্ঠা ১৫৯) অনুযায়ী অধ্যায় সমাপ্তির পর শিক্ষার্থীরা—

• কেন্দ্রীয় প্রবণতা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• গাণিতিক সূত্রের সাহায্যে গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় করে বাস্তব সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• প্রদত্ত উপাত্তের আলোকে আয়তলেখ ও পাইচিত্র অঙ্কন করতে পারবে এবং লেখচিত্র থেকে পরিসংখ্যানিক সিদ্ধান্ত গ্রহণ করতে পারবে।

মূল আলোচনা ও গাণিতিক সূত্রাবলি

১. তথ্য, উপাত্ত ও এদের শ্রেণিবিন্যাস

(ক) পরিসংখ্যান ও উপাত্তের সংজ্ঞা

• পরিসংখ্যান (Statistics): সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনাকে পরিসংখ্যান বলে। যেমন: বার্ষিক পরীক্ষায় ২০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর। কোনো একটি একক সংখ্যা কখনো পরিসংখ্যান হতে পারে না; একাধিক তথ্যের সংখ্যাসূচক সমষ্টিই পরিসংখ্যান।
• উপাত্ত (Data): তথ্য বা ঘটনা নির্দেশক সংখ্যাগুলোকে পরিসংখ্যানের উপাত্ত বলা হয়। যেমন: কোনো শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর $৮৫$ হলো একটি উপাত্ত।

(খ) প্রাথমিক উপাত্ত বনাম মাধ্যমিক উপাত্ত

(গ) অবিন্যস্ত উপাত্ত বনাম বিন্যস্ত উপাত্ত

• অবিন্যস্ত উপাত্ত (Raw Data): সংগৃহীত উপাত্তসমূহ যখন এলোমেলো বা বিশৃঙ্খল অবস্থায় থাকে এবং মানের কোনো ক্রমে (ছোট থেকে বড় বা বড় থেকে ছোট) সাজানো থাকে না, তখন তাকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে।
  যেমন: ২০ জন প্রার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর: ২৫, ৪৫, ৪০, ২০, ৩৫, ৩০, ৩৫, ৩০, ৪০, ৪১, ৪৬, ২০, ২৫, ৩০, ৪৫, ৪২, ৪৫, ৪৭, ৫০, ৩০।
• বিন্যস্ত উপাত্ত (Grouped / Ordered Data): অবিন্যস্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে (ছোট থেকে বড়) বা অধঃক্রমে (বড় থেকে ছোট) সাজালে কিংবা শ্রেণিবিন্যাস করে গণসংখ্যা সারণিতে উপস্থাপন করলে তাকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে।
  ঊর্ধ্বক্রমে বিন্যস্ত রূপ: ২০, ২০, ২০, ২৫, ২৫, ৩০, ৩০, ৩০, ৩০, ৩৫, ৩৫, ৪০, ৪০, ৪১, ৪২, ৪৫, ৪৫, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৫০।

২. গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুতকরণের নিয়ম

অবিন্যস্ত উপাত্তকে সুশৃঙ্খল, দৃষ্টিগ্রাহ্য ও সংক্ষিপ্ত আকারে উপস্থাপনের জন্য গণসংখ্যা নিবেশন সারণি (Frequency Distribution Table) তৈরি করা হয়। এর প্রধান ৪টি ধাপ নিচে বিশদভাবে আলোচনা করা হলো:

flowchart TD    Step1["ধাপ ১: পরিসর নির্ণয়<br/>পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + ১"] --> Step2["ধাপ ২: শ্রেণিব্যাপ্তি (Class Interval) নির্ধারণ<br/>সাধারণত ৫ বা ১০ ধরা হয়"]    Step2 --> Step3["ধাপ ৩: শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয়<br/>শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর / শ্রেণিব্যাপ্তি<br/>(দশমিক এলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা)"]    Step3 --> Step4["ধাপ ৪: ট্যালি চিহ্নের সাহায্যে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুত"]

flowchart TD
    Step1["ধাপ ১: পরিসর নির্ণয়<br/>পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + ১"] --> Step2["ধাপ ২: শ্রেণিব্যাপ্তি (Class Interval) নির্ধারণ<br/>সাধারণত ৫ বা ১০ ধরা হয়"]
    Step2 --> Step3["ধাপ ৩: শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয়<br/>শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর / শ্রেণিব্যাপ্তি<br/>(দশমিক এলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা)"]
    Step3 --> Step4["ধাপ ৪: ট্যালি চিহ্নের সাহায্যে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুত"]

ধাপ ১: পরিসর (Range) নির্ণয়

উপাত্তের সর্বোচ্চ সাংখ্যিক মান ও সর্বনিম্ন সাংখ্যিক মানের ব্যবধানের সাথে $১$ যোগ করে পরিসর পাওয়া যায়: $\text{পরিসর} = (\text{সর্বোচ্চ সংখ্যা} - \text{সর্বনিম্ন সংখ্যা}) + ১$

Important কেন ১ যোগ করতে হয়? অন্তর্ভুক্তি পদ্ধতিতে (Inclusive Method) উপাত্তের সর্বনিম্ন মান এবং সর্বোচ্চ মান উভয় সংখ্যাকেই গণনার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। যেমন: উপাত্তের মান $১০$ থেকে $২০$ হলে মোট সংখ্যা হয় $(২০ - ১০) + ১ = ১১$ টি ($১০, ১১, ১২, \dots, ২০$)। তাই প্রকৃত ব্যাপ্তি নির্ধারণে ব্যবধানের সাথে সর্বদা $১$ যোগ করতে হয়।

ধাপ ২: শ্রেণিব্যাপ্তি (Class Interval) নির্ধারণ

উপাত্তগুলোকে সুবিধাজনক ব্যবধানে কতগুলো শ্রেণিতে ভাগ করার জন্য শ্রেণিব্যাপ্তি নির্বাচন করা হয়। সচরাচর শ্রেণি ব্যবধান সর্বনিম্ন $৫$ এবং সর্বোচ্চ $১৫$-এর মধ্যে রাখা হয়। সাধারণত গণনার সুবিধার্থে $৫$ বা $১০$ নেওয়া শ্রেয়।

• প্রতিটি শ্রেণির দুটি প্রান্তীয় মান থাকে: ছোট মানটিকে নিম্নসীমা (Lower Limit) এবং বড় মানটিকে উর্ধ্বসীমা (Upper Limit) বলে।
• যেমন $২০-২৪$ শ্রেণিতে নিম্নসীমা $২০$, উর্ধ্বসীমা $২৪$ এবং শ্রেণিব্যাপ্তি $= (২৪ - ২০) + ১ = ৫$।

ধাপ ৩: শ্রেণিসংখ্যা (Number of Classes) নির্ণয়

পরিসরকে শ্রেণিব্যাপ্তি দ্বারা ভাগ করে শ্রেণিসংখ্যা পাওয়া যায়: $\text{শ্রেণিসংখ্যা} = \frac{\text{পরিসর}}{\text{শ্রেণিব্যাপ্তি}}$

• দশমিক রূপান্তর নীতি: শ্রেণিসংখ্যা যদি কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা হয়, তবে তাকে সর্বদা পরবর্তী পূর্ণ সংখ্যায় (Next Higher Integer) গ্রহণ করতে হবে।
• যেমন: $\frac{৩১}{৫} = ৬.২ \implies$ শ্রেণিসংখ্যা হবে $৭$। এমনকি ফলাফল যদি $৬.১$ বা $৬.০২$-ও হয়, তবুও শ্রেণিসংখ্যা $৭$ হবে। কারণ অবশিষ্ট উপাত্তগুলো অন্তর্ভুক্ত করার জন্য অতিরিক্ত একটি পূর্ণাঙ্গ শ্রেণি আবশ্যক।

ধাপ ৪: ট্যালি চিহ্ন ও গণসংখ্যা

• উপাত্তগুলো যে যে শ্রেণিতে পড়ে, সেই শ্রেণির ঘরে এক একটি খাড়া দাগ ($|$) দেওয়া হয়, একে ট্যালি চিহ্ন (Tally Mark) বলে।
• প্রতি পঞ্চম উপাত্তটির জন্য চারটি খাড়া দাগের উপর একটি আড়াআড়ি দাগ ($\cancel{||||}$) দিয়ে পাঁচের গুচ্ছ বা বান্ডিল তৈরি করা হয়।
• কোনো শ্রেণিতে যতগুলো ট্যালি চিহ্ন পড়ে, তার সাংখ্যিক মানই হলো ঐ শ্রেণির গণসংখ্যা (Frequency) বা ঘটনসংখ্যা, যাকে $f_i$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।